家长索赔1元可能是一种象征性的索赔，意在强调精神损害赔偿的重要性。根据《民法典》的相关规定，虽然未直接提及具体金额，但明确规定了精神损害赔偿的可能性。在此案例中，若老师或学校的批评方式不当导致学生精神受损，且能证明存在因果关系，那么家长提出精神损害赔偿是合理的。然而，具体金额需法院根据具体情况判定，1元可能只是表达诉求的一种方式。
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若家长在法律程序中要求学校公开道歉，这通常属于名誉权纠纷的范畴。处理时，应首先评估学校是否存在过错，如批评方式是否过激、是否侵犯了学生或家长的名誉权。若确实存在过错，学校应依法承担公开道歉等责任。若不存在过错，则家长的要求可能不会被支持。具体处理方式需依据法院的判断。
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从法律角度，学校在此事件中可能面临两种责任：一是若老师的批评方式不当导致学生受伤，且学校未尽到管理职责，学校需承担相应的补充责任，包括赔偿医疗费等合理费用；二是若学校的批评行为侵犯了学生或家长的名誉权，学校还需承担公开道歉等侵权责任。